LFM Chirp 레이더 신호처리 - (1) Quadrature Demodulation

간소화를 위해 지난 글에서 Scene의 특정 지점에 대해서만 반환된 LFM 신호를 고려하고 진폭 term과 rect term을 무시하겠다.

간소화한 수신 LFM 신호

 

이 신호를 복조하기 위해서 두가지 기술이 있다. Quadrature Demodulation와 Dechirping.

Quadrature Demodulation 방법은 신호를 베이스밴드로 전환하는 기술로 베이스밴드에 time-delay된 chirp의 복사본을 남기고 그 chirp을 감지하기 위해 매치드 필터를 필요로 한다.

Dechirping은 원래 Chirp 신호를 시간축상에서 Scene Center 까지 스트레치해 주파수 변화를 느리게 만들어 복조를 하는 기술이고 매치드 필터링이 내장되어 있고 출력은 표적과 센서 사이의 거리와 연관된 주파수의 사인파이다.

 

Quadarture Demodulation

 수신된 신호를 캐리어 주파수(송신 신호의 중심 주파수)와 믹스 하는 기술이다. 믹스된 신호는 LPF를 통과하여 2 X 캐리어주파수 신호를 제거하고 베이스밴드 신호만을 남긴다. 동일한 믹스가 90도 위상 차이의 사인파에도 적용되고 이 신호들이 샘플링되고 복소수로 결합하여 Quadarture Demodulation을 생성한다.

 사인파 신호와 신호의 위상(phase)을 알아내는데는 모호성이 존재한다. 신호가 사인파의 상승 구간에 있는지, 하강 구간에 있는지 알수 없기 때문이다. Quadarture Demodulation은 신호의 phasor(위상자 : 복소수 평면의 한 점)를 생성해 모호성을 제거하고 각 사인파 신호가 주어진 주파수에서 하나의 impulse 를 남긴다.

 

 

Sr(t)는 수신된 LFM 신호이다. 송신한 LFM 신호의 중심 주파수의 cos 신호와 90도 위상차의 sin 신호와 믹스된후 LPF 통과하여 베이스밴드 주파수만 남겨진 복소 신호가 된다. 

 

수신된 LFM 신호는 다음과 같이 쓸 수 있다.

Φ(t)는 2πf0t 뒤의 항이다.

 

그리고 mix를 위한 reference 신호로 h(t)=cos(2πf0t)이다. 믹싱은 수학적으로 두 신호를 곱하는 것과 같고, 다음과 같이 쓸수 있다.

믹싱 과정

 

삼각함수 곱셈 공식에 따라 연산하면 다음 식과 같다.

 

위의 식에서 4πf0t 항은 LPF에 의해 날라가서 결국

Φ(t)를 원래대로 쓰고 진폭, rect term을 다시 써주면 다음과 같다.

 

이 방정식은 LFM Chirp 신호의 베이스밴드에서의 형태이다.

Q(t) 채널도 동일한 수학적 방식에 의해 다음과 같이 쓰여진다.

 

I(t), Q(t)항은 ADC로 샘플링되고 다음과 같이 레이더 하나의 펄스에 해당하는 복소수 벡터를 만들기 위해 결합된다.

n은 샘플링 인덱스이다.

간소화를 위해 연속된 시간의 함수로 썼다.

 

위의 식들은 scene의 특정 지점에 대해 복조된 식이지만 실제로는 scene 내의 scatter의 집합으로 이루어진 식일 것이다.

 

복소수 신호의 경우 Nyquist rate가 대역폭보다 커야 해서 실수 신호의 최대 주파수의 2배이상이 되어야하는  Nyquist rate와 다르다.

 

 

추가적인 매치드 필터링 과정

베이스밴드와 time-delay된 LFM chirp을 알아내기 위해서 매치드 필터가 필요하다. 위의 식에서 두번째 항이 내가 알고싶은 베이스밴드의 LFM chirp이다. 매치드 필터링 식은 다음과 같다.

시간 도메인에서 매치드 필터링 식

 

x()는 입력 신호, g()는 입력 신호의 복소 conjugate이다. 실제로는 SAR에서 매치드 필터링은 주파수 도메인에서 주로 이루어지고 시간-주파수 특성에 의해서 다음과 같이 쓸수있다.

주파수 도메인에서 매치드 필터링 식

 

X(f)는 x(t)의 푸리에 변환 결과, G(f)는 g(t)의 푸리에 변환 결과 이다.

매치드 필터

 

중심 주파수 8GHz, chirp rate 0.6X10^12Hz/s, 대역폭 300MHz, 펄스폭 50X10^-6s, time delay 10^-6s 에서 sqd(t) 신호는 다음과 같은 파형을 보인다.

sqd(t)의 시간 도메인에서 파형과 FFT를 취한 주파수 도메인에서의 파형

 

매치드 필터 출력 파형으로 impulse 함수처럼 보이지만 확대시 sinc제곱 형태이다. 오른쪽은 출력을 데시벨로 정규화한 모습이다. 

 

 위 그림에서 임펄스 신호는 tau 즉 scene내 특정 지점과의 왕복 지연시간 1e-6에서 발생하는 것을 확인할 수 있다.

약간의 오차가 발생하였는데 원인은 파악하지 못하였다.(혹시 아시는 분 있으시면 댓글 부탁드립니다..)

 

  LFM Chirp 신호의 매치드 필터링 출력은 주로 sinc제곱의 형태를 가진다. 이 때 주요 피크를 Main Lobe, 양쪽에 있는 피크들을 Side Lobe라고 한다. Main lobe와 Side lobe들이 모여서 형성된 것을 임펄스 response라고 부른다. 임펄스 Response의 해상도는 3dB 내려간 지점에서 측정되고 이 지점 사이의 시간 차이와 빛의 속도를 곱해서 Range 방향 해상도를 얻을 수 있다.

 

 

왜 굳이 90도 위상 전환을 시켜 sin항을 만들어서 허수 부분을 만드는지 이해가 되지 않았다. 구글링과 검색을 통해서 찾은 이유는 다음과 같다.

 레이더는 진폭과 위상 정보를 모두 포함하고 있는데 직교 복조를 통해 신호를 복소수 형태로 변환하면 실수부분은 신호의 진폭을, 허수부분은 신호의 위상을 나타내게 된다. 이런 식으로 더 안정적으로 신호의 정보를 보존할 수 있어서 복소수 신호로 만들어준다고 생각하였다.